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n=1の場合について言及し忘れました。申し訳ございません。
そこは言及されなくて良いんじゃないんですか？ １は素数じゃないですから
@@exile9871 さん、元の命題の前提条件は「n は正の整数である」であって、仮定は「3^n-2^n が素数である」であって、結論は「n は素数である」です。となると、この前提の下で「n が素数である」を否定すると、「n は合成数である」ではなく、「n は 1 または合成数である」となります。もっとも、昨日実際に出題された入試問題の前提条件は「n は 2 以上の整数である」でしたので、原典通りならば、「n が素数である」を否定すると、「n は合成数である」となります。
@@PC三太郎 合成数とはなんですか？
@@exile9871 さん、複数の素数の積で表すことが出来る正の整数のことです。例としては 4(=2^2) とか 6(=2・3) とか 105(=3・5・7) などが該当します。
@@PC三太郎様 合成数は素因数分解すると全て素数になる数ってことですか？
ちなみに、nが素数でも3^nー2^nが素数とならない例はn=7があります。
「素数なら素数」の証明は対偶で一発ですね。
どう見ても直接示すのが難しいから自然に対偶を考えますね
二・二六事件での怪我は大丈夫ですか？
前期試験2日目のある先輩方、応援しています☺️道中気を付けて下さい。
対偶とって隣接三項間漸化式作ってMOD5でいけるんじゃないですか？
あ、数学的帰納法で示して
似たような因数分解をする問題が過去問でありましたよね確か。難易度が受験層を考えたら少し簡単なのかもしれないけど本番ってかなり緊張するしこういうのあっても良いと思います、整数分野だから答合ってるだろうってかなりの確信持ちながら他解けるのもかなり嬉しい。
3^a - 2^a > 1 ( 2 ≦ a ∈ℕ ) のところは 3^a = (2+1)^a の2項定理で示しました。あと 3^a - 2^a ∈ ℕ や {(3^a)^(b-1) + (3^a)^(b-2)・(2^a) + (3^a)^(b-3)・(2^a)^2 + … + (3^a)・(2^a)^(b-2) + (2^a)^(b-1)} ∈ ℕ など一見平易な問題であっても、採点基準によっては意外と差が付きやすいかもしれませんね。
鈴木貫太郎さんの動画は好きなのですが、一点だけよくないと思うのは、ホワイトにぐちゃぐちゃ書かないで、丁寧に書いた方がいいと思います。そこが、ヨビノリさんとの違いです。
対偶をとる命題の有名な例として、「叱らないと勉強しない」というのがあると、幾人かの方が触れていらっしゃいますね。私が高校で使っていた問題集にも載っていたと思います。記憶するところでは、「勉強しているならば、（それ以前に）叱られている」というのが解答として示されていたと思うのですが、「時間軸を持ち込むのは、アンフェアじゃない？」と感じましたね。
100点とったらお小遣いあげるなんかもパラドックス的ですね
@@kskj5672 さん 普段のテストなんて、"間違ったところから学ぶこと" に意味があるんですものね。（「どの口が言ってるネン。」と、突っ込まれそうですが、…。）
@@HachiKaduki0501 対偶「お小遣いをあげないなら100点をとらない」（なんか変）正しくは「お小遣いをもらうことができていないということは、少なくとも以前に100点をとっていない」となるらしいですが、すごく違和感を感じます
@@kskj5672 さんの感じていらっしゃる違和感って、”以前に” という時間（順序） の要素が入っているからではないでしょうか？
「…いるからではないでしょうか？」って、時間（順序）という要素のことは、最初に言っていましたね。蛇足というか、”屋上屋” でした。申し訳ございません。いっそのこと、「お小遣いをくれないんだったら、100点取ってあげない」と、いつでも思うときに100点を取れるくらいの子だったら、頼もしいのにね。（笑）
デジャブ感あるくらいの難易度だな…ま、これ解けたからって絶対、京大受かる自信ないけど
すごい。感動。
お、プレミア公開か。興奮してきたな。
･･･ヨシ！ ∧ /ヽ /／￣￣＼| ∠＿╋＿＿〉 / ①八① ヽ ＿ 工ﾆf(_人_)ｴ二|′)ヽ ＼ヽヽノノ ノ ヘ |⊂⌒)_＞―――′イ (＿) `ー､_ノ/￣ヽ ｜ ＿|｜ | ｜ ( 人＿ノ Λ ＼ス￣￣ﾚ-Λ ＼ (￣ ) / / ＼ﾉ＼ ￣￣ ( ヽ ＼_) ＼ノ
ヨシッ❗
世界一ならば日本一の例めちゃくちゃ良いね
話としてはわかりやすかったけど、日本での大会がちゃんと予選として機能しているのかとか、日本2位が繰り上げ出場して世界一とか野暮なこと考えてしまった
本番対偶作るとこまで行けましたが因数分解むりでした剰余の定理から考えれば分かるのでおもいつくべきだったなぁと反省
nが整数とか自然数とかの条件が必要ですね。有理数でも成立しそうだけど示すの面倒そう。例えば3^n-2^n=11となる無理数nがあるはずなので。
こういう問題ってどうやって作るんだろう？
自分も対偶アプローチで進めました。Nを偶奇に分けて進めました。偶数のときは5の倍数になることは分かったのですけれど、奇数の時の処理が上手くいかず…シンプルに合成数だからと示せばよかったんですね。対偶の例示がすごくいいと思いました。わたしもいつか使ってみます。
おはようございます☀
先輩はこんな問題といて受かったんか……
nが３の倍数でないとかの条件なら場合分けするかもしれないけど、素数だと直接証明するのは難しいから、どうしても対偶で、となりますね。
これも、瞬殺ですね。以前に解いた 2^n-1 の場合の問題がヒントになりました。
小問(2)のほうもみたいです！平均値の定理使うのかな？？とかおもいつつも見当もつきませんでした
フィボナッチ数列も同じようなことができますね。n=4の時だけ、例外なんですけど。
(理系)といいつつ、答え方は国語の論述問題ぽい。
私が通っていた予備校の数学の先生は、「数学は論理学なので、文系理系と分けられない」と仰っていました。先日『NEWTON』の "哲学" 特集を読んだのですが、元々学問には文理の区別はなく（物理学などの）純粋自然科学も哲学から分化した、とあって「なるほど」と思いました。
@@HachiKaduki0501 激しく同意
因数分解がポイントですね。素数は積に弱いのパターン😄
対偶を考えて証明するってそこまで見ないけど結構大切なやり方ですね…
解き方はあってたのに一箇所言及を忘れてるところがありました…出直してきます
この1冊で高校数学の基本の90%が身につく「中学の知識でオイラーの公式がわかる」amzn.to/2t28U8Cオイラーの公式Tシャツ、合言葉は「貫太郎」です。www.ttrinity.jp/p/248613/
おはようございます。今日は、今年の京大プレミア公開ですか！さて、前期試験二日目、今日は数学のみです。1年、またそれ以上でしょうか、毎朝6時30分に動画を見て数学の脳を作ってきました。それを発揮してきます。自分のできることをしっかりやり、その場での発想、判断を大事にしながら、頭は冷静に、解きたいと思います。もちろん、受験終わってからも貫太郎先生の動画は絶対毎朝見ます！！
頑張ってください。
貴殿の実力発揮を、心より祈っています。
東北大ですか？
いえ、東北大ではないです、。(のこりの科目が何かでだいぶ絞られてしまうんですね(笑))ここまでだともうほぼバレてしまいそうなので、言ってしまうと、名古屋大学です。
@@受験生大学 なるほど、私は貫太郎さんの動画をたまに見るくらいなので毎日継続されている方だと強敵だな、と思いついつい聞いてしまいました笑お互い最後1日頑張りましょう！
モチーフとなったのはLTEの補題ですかね。そこそこ有名どころだと思います。
この問題に限った話ではなく数論の世界では対偶が大活躍します。例えば、tを0でない実数として「t^2が有理数ならばcostは無理数」と言うのが成り立つなら対偶をとってtを0でない実数として「costが有理数ならばt^2は無理数」が成り立ちます(ニーベン・インケリの定理と言う)。これを利用すれば前者より2^2=4(有理数)なのでcos2は無理数、後者よりcosπ=-1（有理数）なのでπ^2は無理数が成り立ちます。cos2とπ^2と言う一見すると関係なさそうな無理数が実は1つの定理で繋がっていると言うのは数論の面白いところですね。
「フェルマー予想の式が成り立つなら楕円曲線はモジュラーにならない」というフェルマー予想を証明するのに谷山志村予想使ったのは、あれも対偶になるのかな。(あれは背理法か)
@@randomokeke あれもれっきとした対偶ですね。ちなみにニーベン・インケリの定理はウィキペディアの「円周率の無理性の証明」って言う項目に高校数学の範囲内の証明が書いてあるので興味のある方は是非見て欲しいです。実はもう少し知識があるとtは純虚数を含めても良いとか、costは超越数とか色々分かるんですが、流石にこのレベルまでいくと高校生では厳しいですね。また、高校数学の範囲内で証明できると言っても「なぜあの証明方法が思いつくのか？」まで理解しようと思ったら超越数論の補助関数とかの考え方を理解する必要があるので、実は超越数論の知識がある人から見てもとても奥深い証明だったりします。
よく調べたらリンデマンの定理と言うのもあり、tが0でない代数的数のときsint, cost, tant は超越数になるんですね。
@@user-Ib6gw4xi2m その通りでリンデマンの定理を使えば大量の超越数が分かりますが、リンデマンの定理の証明はなかなか大変ですね（難易度もそうだけど無理数、超越数系の分野は勉強してる人が少なく文献も少ない）。ただ、実は少し妥協して実数の範囲でのニーベン・インケリの定理は手間だけど高校数学の範囲内で示せるので、以下の命題は示せます。tを0でない実数として、t^2が有理数ならばcost,sint,tantは全て無理数。costはニーベン・インケリの定理そのもの。また、t^2が有理数なら4t^2=(2t)^2も有理数なのでcos2tも無理数である。よって、(sint)^2=(1-cos2t)/2より(sint)^2が無理数よりsintが無理数。同様に(tant)^2=(1-cos2t)/(1+cos2t)より(tant)^2が無理数よりtantが無理数。以上より、cost,sint,tantは全て無理数。途中で「実数aにおいて、a^2が無理数ならaは無理数」「実数aにおいて、aが無理数なら(1-a)/(1+a)が無理数」と言う考え方が使われていますが、どっちも対偶で考えれば大丈夫です。これに限らず、無理数や超越数系の分野だとcosは非常に役立ちますね。長文失礼しました。
これ本番で解けて良かった笑整数問題奥が深いですよね
フェルマー素数でも似た現象(2^m+1が素数ならば、m=2^n)が起きますね。
おはようございます。40年以上前に大学で、初等整数論を学びました。しかし内容をほとんど覚えていません。学び直しをします。 貫太郎先生ありがとうございます。
素数の否定は「1か合成数」になりますね。
nが正の整数という前提があればそうなりますが、実際の問題文は「nは2以上の整数とする。」という前提条件があったので、この前提でいきですと、素数の否定は合成数となります。
対偶取って、因数分解すれば瞬殺やん。最近、京大簡単になりすぎて悲しい。
去年はめちゃくちゃ難しかったらしいので今年はその反動かもしれないですね
朝から戸外は雨が降っています。カモメが飛来して去り、鴨が飛来してきました。(1)与式をf(n)=3^n-2 ^n=n(２)^(n-1)+n(n-1)(2)^(n-3)+………+2n+1、と級数展開すると、1以外、各項は2の倍数なので、奇数です。ここで、f(n)は奇数ですが、n=2、3、5、7、についてその値を検証してみましょう。f(2、3、5、7)=(5、19、211、2059)となりますが、その値5、19、211は素数ですが、n=7の値2059=29・71と素因数分解でき、反例が見つかったので(2)結論として、f(n)はすべての素数について素数ではないことが分かります。(3)f(2、3、5、7)は、自作です。
※問題原文は確認できませんでしたが、「nが正整数であること」を前提とします。下記の補題を2回利用。（補題の証明は不要かも知れませんが、念のため。）~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~＜補題＞：q≧2なる任意の正整数に対し、 a^q - b^q = (a - b) Σ[k=0, ..., q-1]{a^(q-1-k) * b^k} 。＜証明＞： (a - b) Σ[k=0, ..., q-1]{a^(q-1-k) * b^k} = Σ[k=0, ..., q-1]{a^(q-k) * b^k} - Σ[k=0, ..., q-1]{a^(q-1-k) * b^(k+1)} = Σ[k=0, ..., q-1]{a^(q-k) * b^k} - Σ[k=1, ..., q]{a^(q-k) * b^k} = a^q + Σ[k=1, ..., q-1]{a^(q-k) * b^k} - Σ[k=1, ..., q-1]{a^(q-k) * b^k} - b^q = a^q - b^q。■~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~＜解答例＞：与命題は、対偶命題 「正整数nが素数でない…① ⇒ 3^n - 2^nは素数でない…②」と同値。以下、これが真であることを示す。①のもとでは、nは１または合成数。1°) n=1のとき：3^n - 2^n = 3 - 2 = 1より、②が成立。2°) nが合成数のとき：n=pq（p,qは２以上の整数）と置ける。簡便のために、さらに a=3^p, b=2^pと置くと、a,bはそれぞれ２以上の整数であり、かつ、上記補題により 3^n - 2^n = a^q - b^q = (a - b) Σ[k=0, ..., q-1]{a^(q-1-k) * b^k} = Σ[k=0, ..., p-1]{3^(p-1-k) * 2^k} Σ[k=0, ..., q-1]{a^(q-1-k) * b^k}が成り立つ。ここで、第１因数のΣの各項は 3^(p-1-k) * 2^k ≧ 2^(p-1-k) * 2^k = 2^(p-1) ≧ 2を満たす（すなわち2以上の）整数であるから、その和Σ（すなわち第1因数全体）も2以上の整数。また、第２因数のΣの各項も全く同様に2以上の整数であることが示されるから、その和Σ（すなわち第2因数全体）も2以上の整数。従って、3^n - 2^n は合成数であって、素数ではない。以上により、対偶命題①⇒②が真であると示された。ゆえに元の命題も真である。■
2日目行ってきます
対偶証明でできた気になったんだけどどうでしょう
僕も対偶使いますね。本番出くわしたら。
面接行ってきます！
a≧2 のとき 3^a - 2^a ≧ 2 という証明は要らないような気はしますが、証明するとすれば、k≧0 のとき 3^(k+2) - 2^(k+2) = 3^k・9 - 2^k・4 = 3^k・5 + (3^k-2^k)・4 ≧ 1・5 + 0・4 = 5 という感じでしょうか。
おはようございます。"貫太郎リスナー" が、京大新入生の中で一大勢力になる日も近い！
対偶を示す際一応n=1の場合も書くべきでしょうか？
おっしゃるとおりですが、実際の問題では「nは2以上の整数とする。」という前提条件がございました。この前提条件下であれば不要です。
@@PC三太郎 なるほど！ありがとうございます😭
備忘録75G" 2周目 〖 n ≧ 2 を前提とする、 by 原典 〗【 対偶は、n が合成数 ならば 3ⁿ－2ⁿ は 合成数である ･･･☆ とおく 】 n が 合成数のとき、 n＝ a･b ( a, b ∈2以上の自然数 ) と表すことができる。 3ⁿ －2ⁿ ＝ 3^a･b －2^a･b ＝ ( 3ª )^b －( 2ª )^b (急所) ＝ ( 3ª －2ª ){ ( 3ª )^(b－1) ＋･･･＋ ( 2ª )^(b－1) } ＝ ( 合成数 ) ( ∵ ( 3ª －2ª ) ≧ 2 かつ ( 3ª )^(b－1) ＋･･･＋ ( 2ª )^(b－1) ≧ 2 ) ☆が 成り立つから、示された ■
論証の京大 (n ≧ 2 が 原典の条件)n＝a･b にして、a b が急所👏
うわーん本番できなかったヨォ
2:31 なにを突然卑猥な絵を描いてるのかとｗｗ
文系問題かと思いました。簡単すぎて。望月教授にお願いしたい。難易度の爆上げを。
論証が粗いと容赦なく減点するパターンの問題でしょうね
メルセンヌ素数だか知らんが類題の経験が効いたな。まあ化学爆死したんで落ちただろうが
おはようございます。対偶をとったまではよかったのですが、因数分解で撃沈です。メルセンヌ数の動画見てみます。明日もよろしくお願いします。
ruclips.net/video/hMj9YymBYLw/видео.html
なんか京大にしては捻りがないというか…n=1の場合は自明というかねぇ。ただ、この問題の場合、nは2以外は必ず奇数…なので3の方は奇数になる可能性があるが、2^nの方は必ず偶数になる。それが頭にあれば、結構京大レベルでなくとも、東京六大学を受験しようかという人なら解けるんじゃないかなぁ？逆に京大を受けに来た人にしてみたら食い足りなかったかもね（笑）
昨晩の動画のコメントでネタバレしていたのでフラットな状況で解けなかった。n=1,4のときを調べて、n≧5のときn=6m,6m±2,6m+3について調べた。答案の書き方で減点されるんだろうなあ
ある命題の真偽を判定するのに、なぜ対偶の真偽で判定できるのかよく理解できた。集合を用いると分かりやすい。確かに、ある集合Aの部分集合Bが存在するならば、集合Bの要素ならば必ず集合Aの要素にもなる。これでスッキリ。また、対偶の真偽についても理解できた。貫太郎さん→教育系RUclipsr これは真だが、教育系RUclipsr→貫太郎さん これは偽反例 他にも教育系RUclipsrは存在するしかし、教育系RUclipsrではない→貫太郎さんではない これは真貫太郎さんが教育系RUclipsrの部分集合だから、それ以外のカテゴリーには分類されない本当に勉強になる。受験対策の為の動画ではないとのことですが、受験生も見るべき動画だなあと最近思います。
これ正直対偶取るって知ってたから解けたけど試験会場で思いつくかって言われたらキツい
まあ多分因数分解の2以上の証明ちゃんとできた人少ないと思う
同じこと書いた
（時刻2:36）画面右側の図はヤバ過ぎる…。報告されますよ（中１～中２病）。
この難易度、大学への数学的にＡＢＣＤＥで何になるんだろうＣかＤに当たるくらい難しいと思うんだが
タイトルをよく見ると,理系と書いてありますね。理系の入試ですか？素数であることを示すより,ないことを示す方がやりやすい(積で表せることを示せばいいから)ことは,理系の入試を受けるような人は皆,知ってるから,まず,3^n-2^n を何かの積で表せないか考えますよね。そこに,nが何かの積と仮定して始めていい状況が自然に転がり込んで来るのだから,何の考察も必要ない。京大の理系の学部は,やさしい問題を速くミスせず解ける能力を重視してるということでしょうか？
先ほどのコメントに.抜けてる点がありました。すみません。nが素数でないと仮定するとnが1もあり得るから「nが1のとき3^n-2^nは1だから素数でない」という記述は必要ではありますが,それを忘れず記述ができるかは,単なる「ミスせず解ける能力」の一部だと思うので,やはり考察が必要ない問題だと思います。
理系／文系を問わず、昔から京大が最も重視していることの１つは 「論理的な思考を、他人にも伝わるように精密かつ平易に言語化できる能力」かと思われます。（かつて、京大の数学教授が京大受験生一般に対して、 「よくある『式だけを羅列した答案』は好ましくない。式の羅列は論理ではない。式間を言葉で補うことにこそ論理がある。予備校の解答例ほどでなくてもよいから、自分がどんな道筋を辿って考えたのかを『物語を語るように』説明して欲しい」という旨のアドバイス／リクエストをしたことがあったそうです。）特に最近の京大のスタンスは、 「易しい問題であっても、『答案の書き方』次第で大きく差がつくので十分試験になる。むしろ、その点こそを重視している。」ということではないでしょうか。
![Blox Fruits Dragon Rework Update [Full Stream]](http://i.ytimg.com/vi/EqDAp8udhm0/mqdefault.jpg)
n=1の場合について言及し忘れました。申し訳ございません。
そこは言及されなくて良いんじゃないんですか？ １は素数じゃないですから
@@exile9871 さん、元の命題の前提条件は「n は正の整数である」であって、仮定は「3^n-2^n が素数である」であって、結論は「n は素数である」です。となると、この前提の下で「n が素数である」を否定すると、「n は合成数である」ではなく、「n は 1 または合成数である」となります。もっとも、昨日実際に出題された入試問題の前提条件は「n は 2 以上の整数である」でしたので、原典通りならば、「n が素数である」を否定すると、「n は合成数である」となります。
@@PC三太郎 合成数とはなんですか？
@@exile9871 さん、複数の素数の積で表すことが出来る正の整数のことです。例としては 4(=2^2) とか 6(=2・3) とか 105(=3・5・7) などが該当します。
@@PC三太郎様 合成数は素因数分解すると全て素数になる数ってことですか？
ちなみに、nが素数でも3^nー2^nが素数とならない例はn=7があります。
「素数なら素数」の証明は対偶で一発ですね。
どう見ても直接示すのが難しいから自然に対偶を考えますね
二・二六事件での怪我は大丈夫ですか？
前期試験2日目のある先輩方、応援しています☺️
道中気を付けて下さい。
対偶とって隣接三項間漸化式作ってMOD5でいけるんじゃないですか？
あ、数学的帰納法で示して
似たような因数分解をする問題が過去問でありましたよね確か。
難易度が受験層を考えたら少し簡単なのかもしれないけど本番ってかなり緊張するしこういうのあっても良いと思います、整数分野だから答合ってるだろうってかなりの確信持ちながら他解けるのもかなり嬉しい。
3^a - 2^a > 1 ( 2 ≦ a ∈ℕ ) のところは 3^a = (2+1)^a の2項定理で示しました。
あと 3^a - 2^a ∈ ℕ や {(3^a)^(b-1) + (3^a)^(b-2)・(2^a) + (3^a)^(b-3)・(2^a)^2 + … + (3^a)・(2^a)^(b-2) + (2^a)^(b-1)} ∈ ℕ
など一見平易な問題であっても、採点基準によっては意外と差が付きやすいかもしれませんね。
鈴木貫太郎さんの動画は好きなのですが、一点だけよくないと思うのは、ホワイトにぐちゃぐちゃ書かないで、丁寧に書いた方がいいと思います。そこが、ヨビノリさんとの違いです。
対偶をとる命題の有名な例として、「叱らないと勉強しない」というのがあると、幾人かの方が触れていらっしゃいますね。
私が高校で使っていた問題集にも載っていたと思います。
記憶するところでは、「勉強しているならば、（それ以前に）叱られている」というのが解答として示されていたと思うのですが、「時間軸を持ち込むのは、アンフェアじゃない？」と感じましたね。
100点とったらお小遣いあげる
なんかもパラドックス的ですね
@@kskj5672 さん
普段のテストなんて、"間違ったところから学ぶこと" に意味があるんですものね。
（「どの口が言ってるネン。」と、突っ込まれそうですが、…。）
@@HachiKaduki0501
対偶「お小遣いをあげないなら100点をとらない」（なんか変）
正しくは「お小遣いをもらうことができていないということは、少なくとも以前に100点をとっていない」となるらしいですが、すごく違和感を感じます
@@kskj5672 さんの感じていらっしゃる違和感って、”以前に” という時間（順序） の要素が入っているからではないでしょうか？
「…いるからではないでしょうか？」って、時間（順序）という要素のことは、最初に言っていましたね。蛇足というか、”屋上屋” でした。申し訳ございません。
いっそのこと、「お小遣いをくれないんだったら、100点取ってあげない」と、
いつでも思うときに100点を取れるくらいの子だったら、頼もしいのにね。（笑）
デジャブ感あるくらいの難易度だな…
ま、これ解けたからって絶対、京大受かる自信ないけど
すごい。感動。
お、プレミア公開か。興奮してきたな。
･･･ヨシ！
∧ /ヽ
/／￣￣＼|
∠＿╋＿＿〉
/ ①八① ヽ ＿
工ﾆf(_人_)ｴ二|′)ヽ
＼ヽヽノノ ノ ヘ |
⊂⌒)_＞―――′イ (＿)
`ー､_ノ/￣ヽ ｜
＿|｜ | ｜
( 人＿ノ Λ
＼ス￣￣ﾚ-Λ ＼
(￣ ) / / ＼ﾉ＼
￣￣ ( ヽ ＼_)
＼ノ
ヨシッ❗
世界一ならば日本一の例めちゃくちゃ良いね
話としてはわかりやすかったけど、日本での大会がちゃんと予選として機能しているのかとか、日本2位が繰り上げ出場して世界一とか野暮なこと考えてしまった
本番対偶作るとこまで行けましたが因数分解むりでした
剰余の定理から考えれば分かるのでおもいつくべきだったなぁと反省
nが整数とか自然数とかの条件が必要ですね。有理数でも成立しそうだけど示すの面倒そう。例えば3^n-2^n=11となる無理数nがあるはずなので。
こういう問題ってどうやって作るんだろう？
自分も対偶アプローチで進めました。
Nを偶奇に分けて進めました。
偶数のときは5の倍数になることは分かったのですけれど、奇数の時の処理が上手くいかず…
シンプルに合成数だからと示せばよかったんですね。
対偶の例示がすごくいいと思いました。わたしもいつか使ってみます。
おはようございます☀
先輩はこんな問題といて受かったんか……
nが３の倍数でないとかの条件なら場合分けするかもしれないけど、素数だと直接証明するのは難しいから、どうしても対偶で、となりますね。
これも、瞬殺ですね。
以前に解いた 2^n-1 の場合の問題がヒントになりました。
小問(2)のほうもみたいです！
平均値の定理使うのかな？？とかおもいつつも見当もつきませんでした
フィボナッチ数列も同じようなことができますね。n=4の時だけ、例外なんですけど。
(理系)といいつつ、答え方は国語の論述問題ぽい。
私が通っていた予備校の数学の先生は、「数学は論理学なので、文系理系と分けられない」と仰っていました。
先日『NEWTON』の "哲学" 特集を読んだのですが、元々学問には文理の区別はなく（物理学などの）純粋自然科学も哲学から分化した、とあって「なるほど」と思いました。
@@HachiKaduki0501 激しく同意
因数分解がポイントですね。
素数は積に弱いのパターン😄
対偶を考えて証明するってそこまで見ないけど
結構大切なやり方ですね…
解き方はあってたのに一箇所言及を忘れてるところがありました…
出直してきます
この1冊で高校数学の基本の90%が身につく「中学の知識でオイラーの公式がわかる」amzn.to/2t28U8C
オイラーの公式Tシャツ、合言葉は「貫太郎」です。www.ttrinity.jp/p/248613/
おはようございます。
今日は、今年の京大プレミア公開ですか！
さて、前期試験二日目、今日は数学のみです。
1年、またそれ以上でしょうか、毎朝6時30分に動画を見て数学の脳を作ってきました。それを発揮してきます。
自分のできることをしっかりやり、その場での発想、判断を大事にしながら、頭は冷静に、解きたいと思います。
もちろん、受験終わってからも貫太郎先生の動画は絶対毎朝見ます！！
頑張ってください。
貴殿の実力発揮を、心より祈っています。
東北大ですか？
いえ、東北大ではないです、。
(のこりの科目が何かでだいぶ絞られてしまうんですね(笑))
ここまでだともうほぼバレてしまいそうなので、言ってしまうと、
名古屋大学です。
@@受験生大学 なるほど、私は貫太郎さんの動画をたまに見るくらいなので毎日継続されている方だと強敵だな、と思いついつい聞いてしまいました笑
お互い最後1日頑張りましょう！
モチーフとなったのはLTEの補題ですかね。そこそこ有名どころだと思います。
この問題に限った話ではなく数論の世界では対偶が大活躍します。
例えば、
tを0でない実数として「t^2が有理数ならばcostは無理数」
と言うのが成り立つなら対偶をとって
tを0でない実数として「costが有理数ならばt^2は無理数」
が成り立ちます(ニーベン・インケリの定理と言う)。
これを利用すれば
前者より2^2=4(有理数)なのでcos2は無理数、
後者よりcosπ=-1（有理数）なのでπ^2は無理数が成り立ちます。
cos2とπ^2と言う一見すると関係なさそうな無理数が実は1つの定理で繋がっていると言うのは数論の面白いところですね。
「フェルマー予想の式が成り立つなら楕円曲線はモジュラーにならない」というフェルマー予想を証明するのに谷山志村予想使ったのは、あれも対偶になるのかな。
(あれは背理法か)
@@randomokeke あれもれっきとした対偶ですね。
ちなみにニーベン・インケリの定理はウィキペディアの「円周率の無理性の証明」って言う項目に高校数学の範囲内の証明が書いてあるので興味のある方は是非見て欲しいです。
実はもう少し知識があるとtは純虚数を含めても良いとか、costは超越数とか色々分かるんですが、流石にこのレベルまでいくと高校生では厳しいですね。
また、高校数学の範囲内で証明できると言っても「なぜあの証明方法が思いつくのか？」まで理解しようと思ったら超越数論の補助関数とかの考え方を理解する必要があるので、実は超越数論の知識がある人から見てもとても奥深い証明だったりします。
よく調べたらリンデマンの定理と言うのもあり、tが0でない代数的数のとき
sint, cost, tant は超越数になるんですね。
@@user-Ib6gw4xi2m その通りでリンデマンの定理を使えば大量の超越数が分かりますが、リンデマンの定理の証明はなかなか大変ですね（難易度もそうだけど無理数、超越数系の分野は勉強してる人が少なく文献も少ない）。
ただ、実は少し妥協して実数の範囲でのニーベン・インケリの定理は手間だけど高校数学の範囲内で示せるので、以下の命題は示せます。
tを0でない実数として、t^2が有理数ならばcost,sint,tantは全て無理数。
costはニーベン・インケリの定理そのもの。
また、t^2が有理数なら4t^2=(2t)^2も有理数なのでcos2tも無理数である。
よって、
(sint)^2=(1-cos2t)/2より(sint)^2が無理数よりsintが無理数。
同様に
(tant)^2=(1-cos2t)/(1+cos2t)より(tant)^2が無理数よりtantが無理数。
以上より、cost,sint,tantは全て無理数。
途中で
「実数aにおいて、a^2が無理数ならaは無理数」
「実数aにおいて、aが無理数なら(1-a)/(1+a)が無理数」と言う考え方が使われていますが、どっちも対偶で考えれば大丈夫です。
これに限らず、無理数や超越数系の分野だとcosは非常に役立ちますね。
長文失礼しました。
これ本番で解けて良かった笑
整数問題奥が深いですよね
フェルマー素数でも似た現象(2^m+1が素数ならば、m=2^n)が起きますね。
おはようございます。40年以上前に大学で、初等整数論を学びました。しかし内容をほとんど覚えていません。学び直しをします。
貫太郎先生ありがとうございます。
素数の否定は「1か合成数」になりますね。
nが正の整数という前提があればそうなりますが、実際の問題文は「nは2以上の整数とする。」という前提条件があったので、この前提でいきですと、素数の否定は合成数となります。
対偶取って、因数分解すれば瞬殺やん。
最近、京大簡単になりすぎて悲しい。
去年はめちゃくちゃ難しかったらしいので今年はその反動かもしれないですね
朝から戸外は雨が降っています。カモメが飛来して去り、鴨が飛来してきました。(1)与式をf(n)=3^n-2 ^n=n(２)^(n-1)+n(n-1)(2)^(n-3)+………+2n+1、と級数展開すると、1以外、各項は2の倍数なので、奇数です。ここで、f(n)は奇数ですが、n=2、3、5、7、についてその値を検証してみましょう。f(2、3、5、7)=(5、19、211、2059)となりますが、その値5、19、211は素数ですが、n=7の値2059=29・71と素因数分解でき、反例が見つかったので(2)結論として、f(n)はすべての素数について素数ではないことが分かります。(3)f(2、3、5、7)は、自作です。
※問題原文は確認できませんでしたが、「nが正整数であること」を前提とします。
下記の補題を2回利用。（補題の証明は不要かも知れませんが、念のため。）
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
＜補題＞：q≧2なる任意の正整数に対し、
a^q - b^q = (a - b) Σ[k=0, ..., q-1]{a^(q-1-k) * b^k} 。
＜証明＞：
(a - b) Σ[k=0, ..., q-1]{a^(q-1-k) * b^k}
= Σ[k=0, ..., q-1]{a^(q-k) * b^k} - Σ[k=0, ..., q-1]{a^(q-1-k) * b^(k+1)}
= Σ[k=0, ..., q-1]{a^(q-k) * b^k} - Σ[k=1, ..., q]{a^(q-k) * b^k}
= a^q + Σ[k=1, ..., q-1]{a^(q-k) * b^k} - Σ[k=1, ..., q-1]{a^(q-k) * b^k} - b^q
= a^q - b^q。■
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
＜解答例＞：与命題は、対偶命題
「正整数nが素数でない…① ⇒ 3^n - 2^nは素数でない…②」
と同値。以下、これが真であることを示す。
①のもとでは、nは１または合成数。
1°) n=1のとき：3^n - 2^n = 3 - 2 = 1より、②が成立。
2°) nが合成数のとき：n=pq（p,qは２以上の整数）と置ける。簡便のために、さらに
a=3^p, b=2^p
と置くと、a,bはそれぞれ２以上の整数であり、かつ、上記補題により
3^n - 2^n = a^q - b^q
= (a - b) Σ[k=0, ..., q-1]{a^(q-1-k) * b^k}
= Σ[k=0, ..., p-1]{3^(p-1-k) * 2^k} Σ[k=0, ..., q-1]{a^(q-1-k) * b^k}
が成り立つ。ここで、第１因数のΣの各項は
3^(p-1-k) * 2^k ≧ 2^(p-1-k) * 2^k = 2^(p-1) ≧ 2
を満たす（すなわち2以上の）整数であるから、その和Σ（すなわち第1因数全体）も2以上の整数。また、第２因数のΣの各項も全く同様に2以上の整数であることが示されるから、その和Σ（すなわち第2因数全体）も2以上の整数。従って、3^n - 2^n は合成数であって、素数ではない。
以上により、対偶命題①⇒②が真であると示された。ゆえに元の命題も真である。■
2日目行ってきます
頑張ってください。
対偶証明でできた気になったんだけどどうでしょう
僕も対偶使いますね。本番出くわしたら。
面接行ってきます！
頑張ってください。
a≧2 のとき 3^a - 2^a ≧ 2 という証明は要らないような気はしますが、証明するとすれば、
k≧0 のとき 3^(k+2) - 2^(k+2) = 3^k・9 - 2^k・4 = 3^k・5 + (3^k-2^k)・4 ≧ 1・5 + 0・4 = 5 という感じでしょうか。
おはようございます。
"貫太郎リスナー" が、京大新入生の中で一大勢力になる日も近い！
対偶を示す際一応n=1の場合も書くべきでしょうか？
おっしゃるとおりですが、実際の問題では「nは2以上の整数とする。」という前提条件がございました。この前提条件下であれば不要です。
@@PC三太郎 なるほど！ありがとうございます😭
備忘録75G" 2周目 〖 n ≧ 2 を前提とする、 by 原典 〗
【 対偶は、n が合成数 ならば 3ⁿ－2ⁿ は 合成数である ･･･☆ とおく 】
n が 合成数のとき、 n＝ a･b ( a, b ∈2以上の自然数 ) と表すことができる。
3ⁿ －2ⁿ ＝ 3^a･b －2^a･b
＝ ( 3ª )^b －( 2ª )^b (急所)
＝ ( 3ª －2ª ){ ( 3ª )^(b－1) ＋･･･＋ ( 2ª )^(b－1) } ＝ ( 合成数 )
( ∵ ( 3ª －2ª ) ≧ 2 かつ ( 3ª )^(b－1) ＋･･･＋ ( 2ª )^(b－1) ≧ 2 )
☆が 成り立つから、示された ■
論証の京大 (n ≧ 2 が 原典の条件)
n＝a･b にして、a b が急所👏
うわーん
本番できなかったヨォ
2:31 なにを突然卑猥な絵を描いてるのかとｗｗ
文系問題かと思いました。簡単すぎて。
望月教授にお願いしたい。難易度の爆上げを。
論証が粗いと容赦なく減点するパターンの問題でしょうね
メルセンヌ素数だか知らんが類題の経験が効いたな。まあ化学爆死したんで落ちただろうが
おはようございます。対偶をとったまではよかったのですが、因数分解で撃沈です。メルセンヌ数の動画見てみます。明日もよろしくお願いします。
ruclips.net/video/hMj9YymBYLw/видео.html
なんか京大にしては捻りがないというか…
n=1の場合は自明というかねぇ。
ただ、この問題の場合、nは2以外は必ず奇数…なので3の方は奇数になる可能性があるが、2^nの方は必ず偶数になる。
それが頭にあれば、結構京大レベルでなくとも、東京六大学を受験しようかという人なら解けるんじゃないかなぁ？
逆に京大を受けに来た人にしてみたら食い足りなかったかもね（笑）
昨晩の動画のコメントでネタバレしていたのでフラットな状況で解けなかった。
n=1,4のときを調べて、n≧5のときn=6m,6m±2,6m+3について調べた。
答案の書き方で減点されるんだろうなあ
ある命題の真偽を判定するのに、なぜ対偶の真偽で判定できるのかよく理解できた。
集合を用いると分かりやすい。確かに、ある集合Aの部分集合Bが存在するならば、集合Bの要素ならば必ず集合Aの要素にもなる。これでスッキリ。
また、対偶の真偽についても理解できた。
貫太郎さん→教育系RUclipsr これは真
だが、
教育系RUclipsr→貫太郎さん これは偽
反例 他にも教育系RUclipsrは存在する
しかし、
教育系RUclipsrではない→貫太郎さんではない これは真
貫太郎さんが教育系RUclipsrの部分集合だから、それ以外のカテゴリーには分類されない
本当に勉強になる。受験対策の為の動画ではないとのことですが、受験生も見るべき動画だなあと最近思います。
これ正直対偶取るって知ってたから解けたけど試験会場で思いつくかって言われたらキツい
まあ多分因数分解の2以上の証明ちゃんとできた人少ないと思う
同じこと書いた
（時刻2:36）画面右側の図はヤバ過ぎる…。報告されますよ（中１～中２病）。
この難易度、大学への数学的にＡＢＣＤＥで何になるんだろう
ＣかＤに当たるくらい難しいと思うんだが
タイトルをよく見ると,理系と書いてありますね。理系の入試ですか？
素数であることを示すより,ないことを示す方がやりやすい(積で表せることを示せばいいから)ことは,
理系の入試を受けるような人は皆,知ってるから,まず,3^n-2^n を何かの積で表せないか考えますよね。
そこに,nが何かの積と仮定して始めていい状況が自然に転がり込んで来るのだから,何の考察も必要ない。
京大の理系の学部は,やさしい問題を速くミスせず解ける能力を重視してるということでしょうか？
先ほどのコメントに.抜けてる点がありました。すみません。
nが素数でないと仮定するとnが1もあり得るから「nが1のとき3^n-2^nは1だから素数でない」という記述は必要ではありますが,
それを忘れず記述ができるかは,単なる「ミスせず解ける能力」の一部だと思うので,やはり考察が必要ない問題だと思います。
理系／文系を問わず、昔から京大が最も重視していることの１つは
「論理的な思考を、他人にも伝わるように精密かつ平易に言語化できる能力」
かと思われます。
（かつて、京大の数学教授が京大受験生一般に対して、
「よくある『式だけを羅列した答案』は好ましくない。式の羅列は論理ではない。式間を言葉で補うことにこそ論理がある。予備校の解答例ほどでなくてもよいから、自分がどんな道筋を辿って考えたのかを『物語を語るように』説明して欲しい」
という旨のアドバイス／リクエストをしたことがあったそうです。）
特に最近の京大のスタンスは、
「易しい問題であっても、『答案の書き方』次第で大きく差がつくので十分試験になる。むしろ、その点こそを重視している。」
ということではないでしょうか。